Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) Phương trình có các hệ số a = −1, b = 0, c = 2 và d = 2.

⇒ a² + b² + c² – d = (−1)² + 0² + 2² – 2 = 3 > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu, hơn nữa mặt cầu có tâm là

 I(−1; 0; 2) và bán kính R = \(\sqrt 3 \).

b) Phương trình có các hệ số a = 1, b = −1, c = −1 và d = 7.

⇒ a² + b² + c² – d = 1² + (−1)² + (−1)² – 7 = −4 < 0.

Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

c) Ta có: 3x² + 3y² + 3z² + 12x – 6y + 6z + 2 = 0.

⇔ x² + y² + z² + 4x – 2y + 2z + \(\frac{2}{3}\) = 0.

Phương trình có các hệ số: a = −2, b =1, c = −1 và d = \(\frac{2}{3}\).

⇒ a² + b² + c² – d = (−2)² + 1² + (−1)² − \(\frac{2}{3}\) = \(\frac{{16}}{3}\) > 0.

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(−2; 1; −1) và R = \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3}\).