Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng đi qua \(M( {3; - 1;2} ),N( {4; - 1; - 1}

Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;0; - 3} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 1;1;0} \right),\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {3;3;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) đi qua \(M\left( {3; - 1;2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {3;3;1} \right)\) có phương trình là:

\(3\left( {x - 3} \right) + 3\left( {y + 1} \right) + \left( {z - 2} \right) = 0\) hay \(3x + 3y + z - 8 = 0\).

Suy ra \(B = 3;C = 1;D = - 8\). Do đó \({B^2} + {C^2} + {D^2} = 9 + 1 + 64 = 74\).