Trong không gian Oxyz , một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm A ( − 2 ; 1 ; 5 ) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là → u = ( 0 ; − 2 ; 6 ) với tốc độ là
75/88
Trong không gian \(Oxyz\), một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm \(A\left( { - 2;1;5} \right)\) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 2;6} \right)\) với tốc độ là \(4{\rm{m/s}}\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau 5 (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm \(M\). Gọi tọa độ \(M\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + 3b + c\).
Trả lời: 6
Phương trình tham số của đường cáp là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1 - 2k\\z = 5 + 6k\end{array} \right.\).
Do tốc độ chuyển động của cabin là \(4{\rm{m/s}}\) nên độ dài \(AM = 4t\left( {\rm{m}} \right)\).
Vì vậy sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm \(M\) thì \(AM = 4.5 = 20\left( {\rm{m}} \right)\).
Vì \(M \in d\) nên \(M\left( { - 2;1 - 2k;5 + 6k} \right)\). Suy ra \(\overrightarrow {AM} = \left( {0; - 2k;6k} \right)\).
Do 2 vectơ \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow u \) cùng hướng nên \(k > 0\).
Vì \(AM = 20 \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + 4{k^2} + 36{k^2}} = 20\)\( \Leftrightarrow 40{k^2} = 400 \Leftrightarrow k = \sqrt {10} \) (vì \(k > 0\)).
Suy ra tọa độ điểm \(M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)\).
Khi đó \(a + 3b + c = - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + 5 + 6\sqrt {10} = 6\).