Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC=1 . Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho OA+OB=OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ

Đáp án A

Giả sử Aa;0;0,B0;b;0⇒OA=aOB=b.

Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC.

Ta có: OC⊥OAOC⊥OB⇒OC⊥OAB.

Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.

ΔOABvuông tại O⇒M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔOAB⇒IO=IA=IB.

 I∈IN⇒IO=IC⇒IO=IA=IB=IC⇒Ilà tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC.

Ta có: OM=12AB=12a2+b2.

Vậy R=OI=IM2+OM2=c24+a2+b24=a2+b2+c22a2+1−a2+12=2a2−2a+22   =2a2−a+12=2a2−2.a.12+14+342=2a−122+322≥64.