Trong không gian Oxyz , đơn vị trên mỗi trục là km , một con tàu vũ trụ bay theo đường thẳng d1 đi qua điểm A ( 1 ; − 3 ; 4 ) với vectơ vận tốc → v1 = ( 2 ; − 1 ; 3 ) km / s .

a) Chọn Đúng

Quỹ đạo chuyển động của tàu vũ trụ và tiểu hành tinh lần lượt là các đường thẳng \[{d_1}\], \[{d_2}\] có phương trình là \[{d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 3 - t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y =  - 4 + 2t}\\{z = 5 - t}\end{array}} \right.\].

Ta có: \[\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 1;1} \right)\], \[\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right] = \left( { - 5;5;5} \right)\].

Do \[\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} } \right] = 2.\left( { - 5} \right) - 1.5 + 1.5 =  - 10 \ne 0\] nên hai đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}\] là hai đường thẳng chéo nhau.

b) Chọn sai

Ta có: \[\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} .\overrightarrow {{v_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 - 1.2 + 3.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {21} }}{4}\]

Do đó \[\left( {{d_1},{d_2}} \right) \ne 60^\circ \].

c) Chọn Sai

Quỹ đạo chuyển động của tàu vũ trụ và tiểu hành tinh lần lượt là các đường thẳng \[{d_1}\], \[{d_2}\] có phương trình là \[{d_1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y =  - 3 - t}\\{z = 4 + 3t}\end{array}} \right.\] và \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y =  - 4 + 2t}\\{z = 5 - t}\end{array}} \right.\].

Gọi \[A',B'\] lần lượt là vị trí của tàu vũ trụ và tiểu hành tinh tại thời điểm \[t = 10\] giây. Khi đó

\[A'\left( {21; - 13;34} \right),B'\left( {13;16; - 5} \right)\].

Vậy khoảng cách giữa chúng là

\[A'B' = \sqrt {{{\left( {13 - 21} \right)}^2} + {{\left( {16 + 13} \right)}^2} + {{\left( { - 5 - 34} \right)}^2}}  = \sqrt {2426}  \approx 49,25\,\,km\].

d) Chọn Sai

Khoảng cách bình phương giữa chúng tại thời điểm \(t\) bất kỳ là một hàm số:

\({d^2}\left( t \right) = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2} - {y_1}} \right)^2} + {\left( {{z_2} - {z_1}} \right)^2}\)

\({d^2}\left( t \right) = {(2 - t)^2} + {( - 1 + 3t)^2} + {(1 - 4t)^2}\)

\({d^2}\left( t \right) = \left( {4 - 4t + {t^2}} \right) + \left( {1 - 6t + 9{t^2}} \right) + \left( {1 - 8t + 16{t^2}} \right)\)

\({d^2}(t) = 26{t^2} - 18t + 6n\)

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(t =  - \frac{b}{{2a}} = \frac{{18}}{{52}} = \frac{9}{{26}}\).

Thay \(t = \frac{9}{{26}}\) vào \({d^2}(t)\), ta được giá trị nhỏ nhất:\(26{\left( {\frac{9}{{26}}} \right)^2} - 18\left( {\frac{9}{{26}}} \right) + 6 = \frac{{75}}{{26}}\).

Nên khoảng cách ngắn nhất là \(\sqrt {\frac{{75}}{{26}}}  = \frac{{5\sqrt {78} }}{{26}}\).