Trong không gian Oxyz , đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ O ( 0 ; 0 ; 0 ) , đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua

21/22

Trong không gian \[Oxyz\], đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\), đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí \(A\left( { - 500; - 250;150} \right),\,B\left( { - 200; - 200;100} \right).\)Khi máy bay ở gần đài kiểm soát nhất, tọa độ của vị trí máy bay là \(\left( {a;b;c} \right)\). Giá trị của biểu thức \(\frac{{\left( { - 3a - b - c} \right)}}{{10}}\)là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giải thích

Trả lời: −180

Vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {300;50; - 50} \right)\) nên \(\overrightarrow u = \left( {6;1; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\). Phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\frac{{x + 500}}{6} = \frac{{y + 250}}{1} = \frac{{z - 150}}{{ - 1}}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(O\) trên đường thẳng \(AB\)thì \(OH\) là khoảng cách ngắn nhất giữa máy bay và đài kiểm soát. Khi đó \(H\left( {6t - 500;t - 250; - t + 150} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {OH} .\overrightarrow u = \left( {6t - 500} \right).6 + t - 250 + \left( { - t + 150} \right).\left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{1700}}{9}\).

Suy ra toạ độ của vị trí máy bay khi đó là \(\left( {\frac{{1900}}{3}; - \frac{{550}}{9}; - \frac{{350}}{9}} \right)\).

Vậy \(\frac{{ - 3a - b - c}}{{10}} = - 180.\)