Trong không gian Oxyz, cho vectơ u=(1;1;-căn bậc hai 2), vectơ v=(1;0;m). Có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai vectơ u và v bằng 60 độ?

Ta có \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2;\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {1 + {m^2}} \); \(\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v  = 1 - m\sqrt 2 \).

Khi đó \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u  \cdot \overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right|}}\)\( \Leftrightarrow \cos 60^\circ  = \frac{{1 - m\sqrt 2 }}{{2\sqrt {1 + {m^2}} }}\)\( \Leftrightarrow \frac{{1 - m\sqrt 2 }}{{2\sqrt {1 + {m^2}} }} = \frac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow 2\left( {1 - m\sqrt 2 } \right) = 2\sqrt {1 + {m^2}} \)

\( \Leftrightarrow 1 - m\sqrt 2  = \sqrt {1 + {m^2}} \)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m\sqrt 2  \ge 0\\{\left( {1 - m\sqrt 2 } \right)^2} = 1 + {m^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\1 - 2m\sqrt 2  + 2{m^2} = 1 + {m^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\{m^2} - 2m\sqrt 2  = 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow m = 0\]. Vậy có 1 giá trị của m. Chọn D.