Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A ( 5 ; 3 ; 6 ) , B ( 1 ; 1 ; 4 ) , C ( 2 ; 1 ; 2 ) và D ( 0 ; 0 ; 4 ) . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ) bằng bao nhiêu?

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {1;0; - 2} \right),\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1; - 1;0} \right),\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( { - 2;2; - 1} \right)\).

Mặt phẳng (BCD) đi qua B(1; 1; 4) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( { - 2;2; - 1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - 2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {z - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 2y - z + 4 = 0\).

Khi đó \(d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2.5 + 2.3 - 6 + 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 2\).

Trả lời: 2.