Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm t (tính bằng phút), kiến vàng (kiến bên tr
18/25
Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm t (tính bằng phút), kiến vàng (kiến bên trái) ở tại vị trí (6 + t; 8 – t; 3 + t) trên đường thẳng d1. Cùng thời điểm đó, kiến đen ở tại vị trí (1 + t; 2 + t; 2t) trên đường thẳng d2 được mô hình hoá như hình vẽ bên cạnh.
Khi đó:
Hai chú kiến bò trên hai đường thằng chéo nhau.
Khoảng cách giữa hai chú kiến tại các thời điểm t = 0 là 80 cm.
Khoảng cách giữa hai chú kiến tại các thời điểm t = 10 là 3\(\sqrt {30} \) cm.
Khoảng cách ngắn nhất giữa hai chú kiến gần bằng 7,33 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)\).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d2 là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;2} \right)\).
Ta có \(\frac{1}{1} \ne \frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{1}{2}\) .
Nên đường thẳng d1 không song song với đường thẳng d2.
Gọi M1(6 + t; 8 – t; 3 + t) thuộc d1, M2(1+ t; 2 + t; 2t) thuộc d2.
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6 + t = 1 + t}\\{8 - t = 2 + t}\\{3 + t = 2t}\end{array}} \right.\).
Hệ phương trình vô nghiệm. Do đó, hai đường thẳng không cắt nhau nên hai đường thẳng chéo nhau.
b) Sai. Tại t = 0, toạ độ của hai chú kiến là:
Kiến vàng M1(6; 8; 3).
Kiến đen M2(1; 2; 0).
Khoảng cách giữa hai chú kiến:
\(d = \sqrt {{{\left( {1 - 6} \right)}^2} + {{\left( {2 - 8} \right)}^2} + {{\left( {0 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {70} \approx 8,37\).
c) Đúng. Tại t = 10, toạ độ của hai chú kiến là:
Kiến vàng M1(16; -2; 13).
Kiến đen M2(11; 12; 20).
Khoảng cách giữa hai chú kiến là:
\(d = \sqrt {{{\left( {11 - 16} \right)}^2} + {{\left( {12 + 2} \right)}^2} + {{\left( {20 - 13} \right)}^2}} = \sqrt {270} = 3\sqrt {30} \).
d) Sai. Khoảng cách giữa hai chú kiến là hàm số:
\(d\left( t \right) = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 6 + 2t} \right)}^2} + {{\left( {t - 3} \right)}^2}} = \sqrt {5{t^2} - 30t + 70} \)(t ≥ 0).
\(d'\left( t \right) = \frac{1}{{2\sqrt {5{t^2} - 30t + 70} }} \cdot \left( {10t - 30} \right) = 0 \Leftrightarrow 10t - 30 = 0 \Leftrightarrow t = 3\).
Xét bảng biến thiên của hàm số \(d\left( t \right) = \sqrt {5{t^2} - 30t + 70} \) (t ≥ 0).
Dựa vào bảng biến biên ta thấy hàm số d(t) đạt giá trị nhỏ nhất tại t = 3.
\(d\left( 3 \right) = \sqrt {5 \cdot {3^2} - 30 \cdot 3 + 70} = \sqrt {25} = 5\) cm.
Khoảng cách ngắn nhất giữa hai chú kiến bằng 5 cm.