Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC với A(2;1;3), B(1;-1;2), C(3;-6;1)

32/150

Trong không gian \[Oxyz,\] cho tam giác ABC với \(A\left( {2\,;\,\,1\,;\,\,3} \right),\,\,B\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right),\,\,C\left( {3\,;\,\, - 6\,;\,\,1} \right).\) Điểm \(M\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị biểu thức \(P = x + y + z\) là

\(P = 0.\)

\(P = 2.\)

\(P = 6.\)

\(P = - 2.\)

Giải thích

Gọi \(I\) là điểm thỏa \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \vec 0 \Leftrightarrow I\left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right)\)

\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)

\( = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\).

Mà \(M \in Oxyz \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) lên \[\left( {Oyz} \right) \Leftrightarrow M\left( {0\,;\,\, - 2\,;\,\,2} \right).\]

Vậy \(P = 0 - 2 + 2 = 0\). Chọn A.