Trong không gian oxyz cho tam giác ABC với A(1;2;5), B(3;4;1), C(2;3;-3)

30/150

Trong không gian \[Oxyz,\] cho tam giác \[ABC\] với \(A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,5} \right),\,\,B\left( {3\,;\,\,4\,;\,\,1} \right),\,\,C\left( {2\,;\,\,3\,;\,\, - 3} \right).\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \[ABC\] và \(M\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right).\) Độ dài \[GM\] ngắn nhất bằng

Giải thích

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC \Rightarrow G\left( {2\,;\,\,3\,;\,\,1} \right).\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

Khi đó \[GH\] là khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

Ta có \(GH = d\left( {G,\,\,\left( {Oxz} \right)} \right) = 3.\)

Với \(M\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\).

Lại có \(GM \ge GH = 3\), do đó GM ngắn nhất \( \Leftrightarrow M \equiv H.\)

Vậy độ dài \[GM\] ngắn nhất bằng 3. Chọn B.