Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) với \(A( {1;2;5),B( {2;4; - 3}),C( {3;3;1}

\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), suy ra \(G\left( {2;3;1} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(G\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\). Khi đó \(GH\) là khoảng cách từ \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta có \(GH = d\left( {G,\left( {Oxy} \right)} \right) = 1\).

Với \(M\) là điểm thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), ta có \(GM \ge GH = 1\).

Do đó \(GM\) ngắn nhất \( \Leftrightarrow M \equiv H\). Vậy độ dài \(GM\) ngắn nhất bằng 1.