Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; - 1;3), B(1;2; - 1), C(- 4;7;5).

16/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2; - 1;3} \right)\), \(B\left( {1;2; - 1} \right)\), \(C\left( { - 4;7;5} \right)\).

\(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 6\).

ĐúngSai

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Khi đó \(BM = \sqrt {30} \).

ĐúngSai

Gọi \(D\left( {a;b;c} \right)\) là điểm sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành. Khi đó \(a + b + c = 10\).

ĐúngSai

Tia phân giác trong góc A cắt \(BC\) tại điểm \(I\). Khi đó \(OI = \frac{{\sqrt {134} }}{3}\).

ĐúngSai

Giải thích

a) SAI. Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 6;8;2} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 6} \right) + 3 \cdot 8 + \left( { - 4} \right) \cdot 2 = 6 + 24 - 8 = 22 \ne 6\).

b) ĐÚNG. Tọa độ trung điểm \(M\) của \(AC\):

\({x_M} = \frac{{2 + \left( { - 4} \right)}}{2} = - 1,\quad {y_M} = \frac{{ - 1 + 7}}{2} = 3,\quad {z_M} = \frac{{3 + 5}}{2} = 4 \Rightarrow M\left( { - 1;3;4} \right)\).

Tính độ dài \(BM\) với \(B\left( {1;2; - 1} \right)\):

\(BM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2} + {{\left( {4 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {5^2}} = \sqrt {4 + 1 + 25} = \sqrt {30} \).

c) ĐÚNG. Để \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;3; - 4} \right)\); \(\overrightarrow {DC} = \left( { - 4 - a;7 - b;5 - c} \right)\). Suy ra \[\left\{ \begin{array}{l} - 4 - a = - 1\\7 - b = 3\\5 - c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 3\\b = 4\\c = 9\end{array} \right.\].

Tổng \(a + b + c = - 3 + 4 + 9 = 10\).

d) ĐÚNG. Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {1 + 9 + 16} = \sqrt {26} \); \(AC = \sqrt {104} = 2\sqrt {26} \).

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác: \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{\sqrt {26} }}{{2\sqrt {26} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {IC} = - 2\overrightarrow {IB} \).

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4 - x = - 2\left( {1 - x} \right)\\7 - y = - 2\left( {2 - y} \right)\\5 - z = - 2\left( { - 1 - z} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{2}{3}}\\\begin{array}{l}y = \frac{{11}}{3}\\z = 1\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow I\left( { - \frac{2}{3};\frac{{11}}{3};1} \right)\).

Tính độ dài \(OI\): \(OI = \sqrt {{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{11}}{3}} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt {\frac{4}{9} + \frac{{121}}{9} + \frac{9}{9}} = \sqrt {\frac{{134}}{9}} = \frac{{\sqrt {134} }}{3}\).