Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 2 ; 3 ; − 4 ) , B ( − 1 ; 1 ; 0 ) , C ( − 1 ; 3 ; − 1 ) . a) Tam giác ABC là tam giác vuông.

a)	b)	c)	d)
Đúng	Sai	Đúng	Đúng

 

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 2; - 4} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {0;2; - 1} \right)\).

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  =  - 3.0 + \left( { - 2} \right).2 + \left( { - 4} \right).\left( { - 1} \right) =  - 4 + 4 = 0\]

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  \bot \overrightarrow {BC}  \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\).

b) 

Ta có \(\overrightarrow {DC}  = \left( { - 1 - a;3 - b; - 1 - c} \right)\).

Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(B\) nên \(ABCD\) là hình chữ nhật khi \(ABCD\) là hình bình hành.

Điều này xảy ra \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 =  - 1 - a\\ - 2 = 3 - b\\ - 4 =  - 1 - c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 5\\c = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(a + b + c = 10\).

c)

\(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3;0;3} \right)\).

\(\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {29} .\sqrt {18} }} =  - \frac{1}{{\sqrt {58} }}\).

Nhận xét do \(\widehat {BAC} \in \left( {0;180^\circ } \right) \Rightarrow \sin \widehat {BAC} > 0\)

Suy ra \(\sin \widehat {BAC} = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat {BAC}}  = \sqrt {1 - \frac{1}{{58}}}  = \sqrt {\frac{{57}}{{58}}} \).

d)

\(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1;m - 3;n + 4} \right)\).

\(A,B,M\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} \) cùng phương

Điều này xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{ - 3}} = \frac{{m - 3}}{{ - 2}} = \frac{{n + 4}}{{ - 4}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \frac{7}{3}\\n =  - \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(m + n =  - 3\).