Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A ( − 2 ; 0 ; − 3 ) , B ( − 4 ; 1 ; − 1 ) , C ( − 4 ; − 4 ; 1 ) . a) Góc A là góc nhọn.

15/22

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có \[A\left( { - 2;0; - 3} \right),B\left( { - 4;1; - 1} \right),C\left( { - 4; - 4;1} \right)\].

a) Góc $A$ là góc nhọn.

b) Toạ độ điểm $D$ đối xứng với $A$ qua $B$ là $\left( { - 6;2;1} \right)$.

c) Độ dài đường phân giác trong góc $A$ là $\frac{{\sqrt {26} }}{3}$.

d) Gọi $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $a + b + c = - \frac{4}{3}$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Đúng

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1;2} \right),\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 4;4} \right)$

$ \Rightarrow \cos A = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{4}{9} > 0 \Rightarrow A$ là góc nhọn.

b) Đúng

$D$ đối xứng với $A$ qua $B$ nên $B$ là trung điểm của $AD$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = \frac{{{x_A} + {x_D}}}{2}\\{y_B} = \frac{{{y_A} + {y_D}}}{2}\\{z_B} = \frac{{{z_A} + {z_D}}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 2{x_B} - {x_A}\\{y_D} = 2{y_B} - {y_A}\\{z_D} = 2{z_B} - {z_A}\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 6;2;1} \right)$

c) Sai

Ta có: \[AB = 3;AC = 6\]\[ \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \overrightarrow {DC} = - 2\overrightarrow {DB} \]

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - {x_D} = - 2\left( {{x_B} - {x_D}} \right)\\{y_C} - {y_D} = - 2\left( {{y_B} - {y_D}} \right)\\{z_C} - {z_D} = - 2\left( {{z_B} - {z_D}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow D\left( { - 4; - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right) \Rightarrow AD = \frac{{2\sqrt {26} }}{3}\].

d) Sai

$Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có \[A\left( { - 2;0; - 3} \right),B\left( { - 4;1; - 1} \right),C\left( { - 4; - 4;1} \right)\]. a) Góc $A$ là góc nhọn. (ảnh 1)$

Vì $M \in \left( {Oyz} \right) \Rightarrow a = 0 \Rightarrow M\left( {0;b;c} \right)$

Ta có: $A,\,B$ nằm cùng phía đối với $\left( {Oyz} \right)$.

Gọi $A'$ là điểm đối xứng với $A$ qua $\left( {Oyz} \right) \Rightarrow A'\left( {2;0; - 3} \right)$

Khi đó: $MA + MB = MA' + MB \ge A'B$

Do đó: $MA + MB$ đạt GTNN khi $A',M,B$ thẳng hàng.

$\overrightarrow {A'B} = \left( { - 6;1;2} \right),\,\overrightarrow {A'M} = \left( { - 2;b;c + 3} \right)$

$A',\,B,\,M$ thẳng hàng $ \Leftrightarrow \overrightarrow {A'B} ,\,\overrightarrow {A'M} $ cùng phương$ \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{{ - 6}} = \frac{b}{1} = \frac{{c + 3}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \frac{1}{3}\\c = - \frac{7}{3}\end{array} \right.$

Vậy $M\left( {0;\frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right) \Rightarrow a + b + c = - 2$.