Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A ( 1 ; 1 ; 0 ) , B ( − 1 ; 0 ; 1 ) , C ( 1 ; − 2 ; 3 ) . a) Tứ giác ABCD là hình bình hành khi D ( 3 ; − 1 ; 2 ) .

16/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho tam giác \(ABC\) có \[A\left( {1;1;0} \right),B\left( { - 1;0;1} \right),C\left( {1; - 2;3} \right)\].

a) Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi \(D\left( {3; - 1;2} \right)\).

b) Độ dài đoạn thẳng\(AB\) là \(\sqrt 6 \).

c) Biết \(E \in Oy,\) khi đó tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) thì \(E\left( {0; - 6;0} \right)\).

d) \[M\] là điểm nằm trên đoạn \[AB\] sao cho \[MA = 2MB\] thì độ dài \[OM\] bằng \[\frac{{\sqrt 6 }}{3}\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Đúng

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1;1} \right),\,\overrightarrow {DC} = \left( {1 - x; - 2 - y;3 - z} \right)\)

\(ABCD\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - x = - 2\\ - 2 - y = - 1\\3 - z = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 1\\z = 2\end{array} \right.\). Vậy \(D\left( {3; - 1;2} \right)\).

b) Đúng

Ta có: \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 6 \]

c) Sai

Gọi \(E\left( {0;m;0} \right) \in Oy\)

Tam giác \(BCE\) vuông tại \(E\) thì \(\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EC} = 0.\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \[\overrightarrow {EB} = \left( { - 1; - m;1} \right),\,\overrightarrow {EC} = \left( {1; - m - 2;3} \right)\]

Khi đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 2 = 0\,\,\left( {VN} \right).\]

Vậy không có điểm \(E\) thỏa mãn.

d) Đúng

Điểm M thuộc đoạn thẳng AB và \[MA = 2MB\]

Nên \[\overrightarrow {MA} = - 2\overrightarrow {MB} \]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} - {x_M} = - 2\left( {{x_B} - {x_M}} \right)\\{y_A} - {y_M} = - 2\left( {{y_B} - {y_M}} \right)\\{z_A} - {z_M} = - 2\left( {{z_B} - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_M} = - 2\left( { - 1 - {x_M}} \right)\\1 - {y_M} = - 2\left( { - {y_M}} \right)\\ - {z_M} = - 2\left( {1 - {z_M}} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x_M} = - 1\\3{y_M} = 1\\3{z_M} = 2\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{ - 1}}{3}\\{y_M} = \frac{1}{3}\\{z_M} = \frac{2}{3}\end{array} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3}\,;\frac{1}{3}\,;\frac{2}{3}} \right)\].

Độ dài đoạn thẳng \[OM = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 1}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}\].