Trong không gian Oxyz , cho ( P ) : x − y + z − 3 = 0 và A ( 5 ; 6 ; 7 ) . Gọi H ( a ; b ; c ) là hình chiếu vuông góc của A trên ( P ) . Tính a + 2b + c .
Giải thích
Trả lời: 24
Đường thẳng đi qua \(A\left( {5;6;7} \right)\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + z - 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 6 - t\\z = 7 + t\end{array} \right.\).
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 6 - t\\z = 7 + t\\x - y + z - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 6 - t\\z = 7 + t\\5 + t - 6 + t + 7 + t - 3 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 7\\z = 6\\t = - 1\end{array} \right.\).
Do đó \(H\left( {4;7;6} \right)\). Suy ra \(a = 4;b = 7;c = 6\). Vậy \(a + 2b + c = 24\).