Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng x - y + z - 2 = 0 và hai điểm
Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai.
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt 3 \).
Vậy a) sai.
b) Ta xét \(f\left( {x,y,z} \right) = x - y + z - 2\). Ta có \(f\left( A \right) = 1 - 2 + \left( { - 1} \right) - 2 = - 4;f\left( B \right) = 2 - 3 + 0 - 2 = - 3 \Rightarrow f\left( A \right) \cdot f\left( B \right) > 0\).
Do đó hai điểm \(A,B\) nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Vậy b) đúng.
c) Đường thẳng đi qua \(B\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\), có véc-tơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;1} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(d\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - t\\z = t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).
Khi đó \(d \cap \left( P \right) = \left\{ H \right\}\). Toạ độ điểm \(H\) là nghiệm hệ phương trình
Vậy c) đúng.
d) Hai điểm \(A,B\) nằm cùng phía đối với mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Gọi điểm \(B'\) là điểm đối xứng với \(B\) qua mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó điểm \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BB'\). Suy ra toạ độ điểm \(B'\left( {4;1;2} \right)\).
Khi đó \(MA + MB = MA + MB' \ge AB'\).
Dấu bằng xảy ra khi \(A,M,B'\) thẳng hàng.
Đường thẳng \(AB'\) đi qua \(A\), có véc-tơ chỉ phương \[\overrightarrow {AB'} = \left( {3; - 1;3} \right)\], có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - t\\z = - 1 + 3t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\)
Điểm \(\left\{ M \right\} = AB' \cap \left( P \right)\). Toạ độ điểm \(M\) là nghiệm hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 - t\\z = - 1 + 3t\\x - y + z - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{4}{7}\\x = \frac{{19}}{7}\\y = \frac{{10}}{7}\\z = \frac{5}{7}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{19}}{7};\frac{{10}}{7};\frac{5}{7}} \right)\]
Và giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\) bằng \(AB' = \sqrt {19} \).
Vậy d) sai.