Trong không gian oxyz cho mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P): 2x-2y+z-7=0

29/150

Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(\left( Q \right)\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 2y + z - 7 = 0.\) Biết mặt phẳng \(\left( Q \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 25\) theo một đường tròn có bán kính \(r = 3.\) Khi đó mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là

\(x - y + 2z - 7 = 0.\)

\(2x - 2y + z - 7 = 0.\)

\(2x - 2y + z - 17 = 0.\)

\(2x - 2y + z + 17 = 0.\)

Giải thích

Do \(\left( Q \right)\,{\rm{//}}\,\left( P \right):2x - 2y + z - 7 = 0\), suy ra \(\left( Q \right):2x - 2y + z + m = 0,\,\,\left( {m \ne - 7} \right).\)

Ta có \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 25\) có tâm \(I\left( {0\,;\,\,2\,;\,\, - 1} \right)\) bán kính \(R = 5.\)

Gọi \(h = d\left( {I;\,\,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 0 - 2 \cdot 2 - 1 + m} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{\left| {m - 5} \right|}}{3}.\)

Do \((Q)\) cắt mặt cầu \((S)\) theo một đường tròn có bán kính \(r = 3\), suy ra \({R^2} = {r^2} + {h^2}\)

\( \Leftrightarrow 25 = 9 + \frac{{{{\left( {m - 5} \right)}^2}}}{9} \Leftrightarrow {\left( {m - 5} \right)^2} = 144 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 5 = 12}\\{m - 5 = - 12}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 17}\\{m = - 7{\rm{ (loai) }}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là \(2x - 2y + z + 17 = 0.\) Chọn D.