Trong không gian oxyz cho mặt phẳng (P): x+y+x-1=0

Cách 1: Ta thấy \[A\] và \[B\] nằm khác phía so với \[\left( P \right).\]

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( P \right),\,\,AA' \cap \left( P \right) = H.\)

Phương trình đường thẳng \(AA'\) là:

\(x - 1 = y + 3 = t \Rightarrow H\left( {t + 1\,;\,\,t - 3\,;\,\,t} \right).\)

\(H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {t + 1} \right) + \left( {t - 3} \right) + t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow H\left( {2\,;\,\, - 2\,;\,\,1} \right).\)

Vì \(H\) là trung điểm \(AA'\) nên \(A'\left( {3\,;\,\, - 1\,;\,\,2} \right).\)

Ta có: \[\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\] (bất đẳng thức tam giác)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng.

\(\overrightarrow {A'B}  = \left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 4} \right) = 2\left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{A'B}}}  = \left( {1\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right).\)

Do đó, phương trình đường thẳng \(A'B\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + k}\\{y =  - 1}\\{z = 2 - 2k}\end{array} \Rightarrow M\left( {3 + k\,;\,\, - 1\,;\,\,2 - 2k} \right)} \right..\)

\[M \in \left( P \right) \Rightarrow 3 + k - 1 + 2 - 2k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = 3 \Rightarrow M\left( {6\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right)\].

Vậy \(abc = 6 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 24.\)

Cách 2: Ta thấy \(A\) và \(B\) nằm khác phía so với \[\left( P \right).\]

Gọi \(B' = \left( {\frac{{13}}{3}\,;\,\, - \frac{5}{3}\,;\,\, - \frac{8}{3}} \right)\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \[\left( P \right).\]

Ta có: \[\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA' - MB} \right| \le A'B\].

Do đó \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất bằng \(AB'\) khi và chỉ khi \(M\) là giao điểm của đường thẳng \(AB'\) với mặt phẳng \[\left( P \right)\] nên \(M\left( {6\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right) \Rightarrow abc = 24.{\rm{ }}\)

Đáp án: 24.