Trong không gian Oxyz,cho mặt phẳng (P):x + y + z - 1 = 0

84/235

Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\) và hai điểm \[A\left( {1\,;\,\, - 3\,;\,\,0} \right),\] \[B\left( {5\,;\,\, - 1\,;\,\, - 2} \right).\] Điểm \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) và \[\left| {MA - MB} \right|\] lớn nhất. Giá trị abc bằng (nhập đáp án vào ô trống):

___

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta thấy A và B nằm khác phía so với mp\(\left( P \right)\).

Gọi \(B'\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(\left( P \right),\,\,BB' \cap \left( P \right) = H.\)

Phương trình đường thẳng \(BB'\) là:

\(x - 5 = y + 1 = z + 2 = t \Rightarrow H\left( {t + 5\,;\,\,t - 1\,;\,\,t - 2} \right).\)

Ta có: \[\left| {MA - MB} \right| = \left| {MA - MB'} \right| \le AB'\].

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow A,\,\,B',\,\,M\) thẳng hàng.

\(\overrightarrow {AB'} = \left( {\frac{{10}}{3}\,;\,\,\frac{4}{3}\,;\,\, - \frac{8}{3}} \right) = \frac{2}{3}\left( {5\,;\,\,2\,;\,\, - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{AB'}}} = \left( {5\,;\,\,2\,;\,\, - 4} \right).\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(AB'\) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 5k}\\{y = - 3 + 2k}\\{z = - 4k}\end{array} \Rightarrow M\left( {1 + 5k\,;\,\, - 3 + 2k\,;\,\, - 4k} \right)} \right..\)

\(M \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + 5k - 3 + 2k - 4k - 1 = 0 \Leftrightarrow k = 1 \Rightarrow M\left( {6\,;\,\, - 1\,;\,\, - 4} \right)\). Vậy \(abc = 6 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 24.\)

Đáp án cần nhập là: 24.