Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng P: x - 2y + z = 0

a) Đúng. Ta có \(2 - 2 \cdot 1 + 0 = 0 \Rightarrow A \in \left( P \right)\).

b) Sai. Gọi \(I = d \cap \left( P \right)\). Ta có \(I \in d \Rightarrow I\left( {2 + t; - 3t;1 + t} \right)\).

Lại có \[I \in \left( P \right) \Rightarrow 2 + t - 2 \cdot \left( { - 3t} \right) + 1 + t = 0 \Rightarrow t = \frac{{ - 3}}{8} \Rightarrow I\left( {\frac{{13}}{8};\frac{9}{8};\frac{5}{8}} \right)\].

c) Đúng. Gọi \(d' \bot \left( P \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;1} \right)\).

Khi đó, phương trình đường thẳng \(d'\)đi qua điểm \(B\left( {2; - 3;4} \right)\)và vuông góc mặt phẳng \(\left( P \right)\)là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t'\\y = - 3 - 2t'\\z = 4 + t'\end{array} \right.\).

Gọi \(H\)là hình chiếu của \(B\)lên mặt phẳng \(\left( P \right) \Rightarrow H = d' \cap \left( P \right)\).

Ta có \(H \in d' \Rightarrow H\left( {2 + t'; - 3 - 2t';4 + t'} \right)\).

Lại có \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 2 + t' - 2 \cdot \left( { - 3 - 2t'} \right) + 4 + t' = 0 \Rightarrow t' = - 2 \Rightarrow H\left( {0;1;2} \right)\).

d) Đúng. Gọi \(A' = \Delta \cap \left( P \right)\). Giả sử \(A'\left( {x;y;z} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {AA'} = \left( {x - 2;y - 1;z} \right)\).

Vì \(A \in \left( P \right)\) mà \[\Delta \bot \left( P \right) \Rightarrow \Delta \bot AA' \Rightarrow AA' = d\left( {A,\Delta } \right) = \sqrt 2 \]

\( \Rightarrow \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {z^2}} = \sqrt 2 \Rightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 2\,\,\,\left( 1 \right)\).

Lại có \(A' \in \left( P \right) \Rightarrow x - 2y + z = 0\,\,\,\left( 2 \right)\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \bot \left( P \right)\\BH \bot \left( P \right)\end{array} \right.\)nên \(BH\)song song hoặc trùng \(\Delta \)\( \Rightarrow d\left( {B,\Delta } \right) = d\left( {H,\Delta } \right) = HA'\).

Khoảng cách từ \(B\)đến \(\Delta \)lớn nhất \( \Leftrightarrow HA'\)lớn nhất \( \Leftrightarrow H,A,A'\)thẳng hàng và \(A\)nằm giữa \(H,A'\).

Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 2;0;2} \right),\,\,\overrightarrow {AA'} = \left( {x - 2;y - 1;z} \right)\)

Khi đó \(H,A,A'\)thẳng hàng và \(A\)nằm giữa \(H,A'\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = - 2k\\y - 1 = 0k\\z = 2k\end{array} \right.\left( {k < 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\x - 2 = - z\\z = 2k\end{array} \right.\,\,\left( {k < 0} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = 2 - x\\z < 0\end{array} \right.\,\,\left( 3 \right)\].

Thế \(\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = 2 - x\end{array} \right.\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\& \left( 2 \right)\)ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y = 1\\z = 2 - x\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = - 1\end{array} \right.(TM)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 1\end{array} \right.(KTM)\end{array} \right.\).

Vậy đường thẳng \(\Delta \)đi qua điểm có tọa độ \(\left( {3;1; - 1} \right)\).