Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : 3x + 4y + 5z + 8 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) : x − 2y + 1 = 0 và ( β ) : x − 2z − 3 = 0 . Tính góc φ giữa

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3;4;5} \right),\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 2;0} \right),\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;0; - 2} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_\alpha }} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \left( {4;2;2} \right)\).

Khi đó \(\sin \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.4 + 4.2 + 5.2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2} + {5^2}} .\sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{{30}}{{20\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow \varphi = 60^\circ \).