Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi n=(A;B,C) là một vectơ pháp tuyến của (α) và M0(x0; y0; z0) là một điểm thuộc (α).

a) Ta có \(\overrightarrow {{M_0}M} = \left( {x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0}} \right)\)

\(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (α) nên \(\overrightarrow n \bot \overrightarrow {{M_0}M} \).

Suy ra \(\overrightarrow n .\overrightarrow {{M_0}M} = \overrightarrow 0 \) Û A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Vậy một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_0}M} \) vuông góc với nhau.

b) Từ câu a, ta có A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

Û Ax + By + Cz = Ax₀ + By₀ + Cz₀

Û Ax + By + Cz = D (trong đó D = Ax₀ + By₀ + Cz₀).

Vậy điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức Ax + By + Cz = D trong đó \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) và D = Ax₀ + By₀ + Cz₀.