Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0(x0; y0; z0). Gọi M1(x1; y1; z1) là hình chiếu vuông góc của M0 trên (α) (Hình 17).
21/33
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M0(x0; y0; z0). Gọi M1(x1; y1; z1) là hình chiếu vuông góc của M0 trên (α) (Hình 17).
a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1};{z_0} - {z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\).
b) Tính \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n \) theo A, B, C, D và tọa độ của M0.
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \[\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|\].
d) Từ các kết quả trên suy ra cách tính \(d\left( {{M_0},\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}}\).
a) Vì M1(x1; y1; z1) là hình chiếu vuông góc của M0 trên (α) nên M1M0 ^ (α).
Do đó hai vectơ \[\overrightarrow {{M_1}{M_0}} = \left( {{x_0} - {x_1};{y_0} - {y_1};{z_0} - {z_1}} \right)\] và \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) cùng phương với nhau.
b) \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = A\left( {{x_0} - {x_1}} \right) + B\left( {{y_0} - {y_1}} \right) + C\left( {{z_0} - {z_1}} \right)\)
= Ax0 + By0 + Cz0 – Ax1 – By1 – Cz1.
Vì M1(x1; y1; z1) Î (α) nên ta có Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 Û D = – Ax1 – By1 – Cz1.
Do đó \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n \) = Ax0 + By0 + Cz0 + D.
c) Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right)\).
Mà do hai vectơ \[\overrightarrow {{M_1}{M_0}} \] và \(\overrightarrow n \) cùng phương với nhau nên \(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 0^\circ \) hoặc\(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 180^\circ \).
+) Nếu \(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 0^\circ \) thì \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|\).
+) Nếu \(\left( {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} ,\overrightarrow n } \right) = 180^\circ \) thì \(\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n = - \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|\).
Do đó \[\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|\].
d) Vì \[\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right| = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|\] nên
\(d\left( {{M_0},\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} } \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{M_1}{M_0}} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).