Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 11 = 0

10/25

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\).

1. Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm là \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = 25\).

ĐúngSai

2. Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(A\left( {1;2;8} \right)\) thì \(\left( Q \right)\) có phương trình \(z - 8 = 0\).

ĐúngSai

3. Mặt cầu \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính \(\sqrt {22} \).

ĐúngSai

4. Trên bề mặt của \(\left( S \right)\) có 28 điểm nguyên (điểm có hoành độ, tung độ, cao độ đều là số nguyên).

ĐúngSai

Giải thích

1. Sai. Các hệ số \(\left\{ \begin{array}{l} - 2a = - 2\\ - 2b = - 4\\ - 2c = - 6\\d = - 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\\c = 3\\d = - 11\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = 5\).

2. Đúng. Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại điểm \(A\left( {1;2;8} \right)\).

\( \Rightarrow \)\(\left( Q \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n = \overrightarrow {IA} = \left( {0;0;5} \right)\) và qua \(A\left( {1;2;8} \right)\).

\( \Rightarrow \)\(\left( Q \right):0\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 2} \right) + 5\left( {z - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( Q \right):z = 8\).

3. Đúng. Do \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 2 + 3 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 < 5 = R\) nên \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn tâm \(H\), bán kính \(HA = \sqrt {{R^2} - {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)} = \sqrt {{5^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} = \sqrt {22} \).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 - 2x - 4y - 6z - 11 = 0 (ảnh 1)

4. Sai. Gọi \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là một điểm nguyên nằm trên bề mặt của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có \(x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 - 2{x_0} - 4{y_0} - 6{z_0} - 11 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_0} - 2} \right)^2} + {\left( {{z_0} - 3} \right)^2} = 25\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = {x_0} - 1\\b = {y_0} - 2\\c = {z_0} - 3\end{array} \right.\) thì \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 25\) (*) và \(a,b,c \in \mathbb{Z}\).

Số bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) bằng với số bộ \(\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\).

Do \({a^2},\,{b^2},{c^2}\) vai trò như nhau nên có thể giả sử \({a^2} \le {b^2} \le {c^2}\).

\({a^2} + {b^2} + {c^2} = 25 \Rightarrow 3{a^2} \le 25 \Rightarrow {a^2} \in \left\{ {0;1;4} \right\}\).

Với \({a^2} = 4\), \(\left( * \right) \Rightarrow \)\({b^2} + {c^2} = 21 \Rightarrow \) không có \(b,c\) nguyên.

Với \({a^2} = 1\), \(\left( * \right) \Rightarrow \)\({b^2} + {c^2} = 24 \Rightarrow \) không tồn tại \(b,c\) nguyên.

Với \({a^2} = 0\), \(\left( * \right) \Rightarrow \)\({b^2} + {c^2} = 25 = {3^2} + {4^2} = {0^2} + {5^2}\).

+ Với \({a^2} = 0\) và \({b^2} + {c^2} = {3^2} + {4^2}\):

Chọn vị trí cho số \(0\) trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(3\) cách.

Chọn \(3\) hoặc \( - 3\) và xếp vào một vị trí trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(2 \cdot 2 = 4\)cách.

Vị trí còn lại cho \(4\) hoặc \( - 4\) trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(2\)cách.

Vậy có \(3 \cdot 4 \cdot 2 = 24\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\).

+ Với \({a^2} = 0\) và \({b^2} + {c^2} = {0^2} + {5^2}\):

Chọn vị trí cho hai số \(0\) trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(C_3^2 = 3\) cách.

Vị trí còn lại cho \(5\) hoặc \( - 5\) trong bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) có \(2\)cách.

Vậy có \(3 \cdot 2 = 6\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\).

Vậy có tất cả \(24 + 6 = 30\) bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) hay \(30\) điểm nguyên nằm trên mặt cầu \(\left( S \right)\).