Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình (x + 1)^2 + (y + 2)^2 + (z + 3)^2 = 14 và điểm M(−1; −3; −2).

37/40

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có phương trình \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14\) và điểm \(M\left( { - 1; - 3; - 2} \right)\). \(\left( P \right):ay + bz + 1 = 0\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính \(a + b\).

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( { - 1; - 2; - 3} \right),R = \sqrt {14} \).

Ta có \(IM = \sqrt {{{\left( { - 1 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2 + 3} \right)}^2}} = \sqrt 2 < R\) nên \(M\)nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

Do đó mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\)và luôn cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn.

Gọi \(H\) là tâm đường tròn giao tuyến.

Khi đó \(IH \bot \left( P \right)\). Khi đó bán kính đường tròn giao tuyến là \(r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {14 - I{H^2}} \).

Suy ra \(r\) nhỏ nhất khi \(IH\) lớn nhất.

Ta có \(IH \le IM\) nên \(IH\)lớn nhất khi \(M\) trùng \(H\). Khi đó \(IM \bot \left( P \right)\).

Khi đó \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(M\) và nhận \(\overrightarrow {IM} = \left( {0; - 1;1} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - \left( {y + 3} \right) + \left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - z + 1 = 0\).

Suy ra \(a = 1;b = - 1 \Rightarrow a + b = 0\).

Đáp án cần nhập là: 0.