Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0$ và hai điểm

27/150

Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0$ và hai điểm \[A\left( {0\,;\,\,2\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\, - 6\,;\,\, - 2} \right)\]. Điểm $M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)$ thuộc $\left( S \right)$ thỏa mãn tích $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} $ có giá trị nhỏ nhất. Tổng $a + b + c$ bằng

$ - 1$.

Giải thích

$Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0$ và hai điểm (ảnh 1)$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right)$ và bán kính $R = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Gọi $E$ là trung điểm của $AB$$ \Rightarrow E\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right)$ và $AB = 6\sqrt 2 $.

Ta có: $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EA} } \right)\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right)$

$ = M{E^2} + \overrightarrow {ME} \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + \overrightarrow {EA} \cdot \overrightarrow {EB} $

$ = M{E^2} + \overrightarrow {ME} \cdot \vec 0 - \overrightarrow {EB} \cdot \overrightarrow {EB} = M{E^2} - \frac{1}{4}A{B^2}$

Suy ra $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} $ đạt GTNN khi $ME$ đạt GTNN.

Lại có: $ME + MI \ge IE \Rightarrow ME + MI \ge IN + NE \Rightarrow ME \ge NE$

$ \Rightarrow ME$ đạt GTNN khi $M \equiv N$ với $N = IE \cap \left( S \right)$.

Đường thẳng $IE$ đi qua $I\left( { - 1\,;\,\,2\,;\,\,1} \right)$ và nhận $\overrightarrow {IE} = \left( {2\,;\,\, - 4\,;\,\, - 2} \right)$ hay $\frac{1}{2}\overrightarrow {IE} = \left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\, - 1} \right)$ làm VTCP nên $IE:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 1 - t}\end{array}} \right.$.

Vì $N = IE \cap \left( S \right)$ nên ${\left( { - 1 + t} \right)^2} + {\left( {2 - 2t} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} + 2\left( { - 1 + t} \right) - 4\left( {2 - 2t} \right) - 2\left( {1 - t} \right) + \frac{9}{2} = 0$

$ \Leftrightarrow 6{\left( {t - 1} \right)^2} + 12\left( {t - 1} \right) + \frac{9}{2} = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t - 1 = - \frac{1}{2}}\\{t - 1 = - \frac{3}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{1}{2}}\\{t = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{N\left( { - \frac{1}{2}\,;\,\,1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right) \Rightarrow NE = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}}\\{N\left( { - \frac{3}{2}\,;\,\,3\,;\,\,\frac{3}{2}} \right) \Rightarrow NE = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.$.

Do đó $M{E_{\min }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}$ khi $M \equiv N\left( { - \frac{1}{2}\,;\,\,1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)$$ \Rightarrow a + b + c = - \frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} = 1$.

Chọn B.

Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 26)

Trong không gian \[Oxyz,\] cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4y - 2z + \frac{9}{2} = 0\) và hai điểm