Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}

21/22

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\) và hai mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z + 5 = 0\), \(\left( Q \right):2x - y + z - 5 = 0\). Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) đi qua tâm của \(\left( S \right)\), lần lượt vuông góc và cắt \(\left( P \right),\left( Q \right)\) theo thứ tự đó tại \(A\) và \(B\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\) và \(R = \sqrt 6 \).

Hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) đi qua tâm của \(\left( S \right)\), lần lượt vuông góc \(\left( P \right),\left( Q \right)\) có phương trình lần lượt là\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\); \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t'\\y = 2 - t'\\z = - 1 + t'\end{array} \right.\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = - 1 + 2t\\x + y + 2z + 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\\z = - 3\\t = - 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow A\left( {0;1; - 3} \right)\).

Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t'\\y = 2 - t'\\z = - 1 + t'\\2x - y + z - 5 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\\z = 0\\t' = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow B\left( {3;1;0} \right)\).

Ta có \(AB = \sqrt {{{\left( {3 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {0 + 3} \right)}^2}} = 3\sqrt 2 \approx 4,24\).

Đáp án: \(4,24\).