Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng O, B thuộc Ox, D thuộc Oy, A' thuộc Oz và AB = 1, AD = 2, AA' = 3

18/25

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \(A \equiv O,B \in Ox,D \in Oy,\) \(A' \in Oz\) và \(AB = 1,\) \(AD = 2,\) \(AA' = 3\).

1. Tọa độ đỉnh \(B'\) của hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] là	A. \(\left( {1;2;3} \right)\).
2. Tọa độ đỉnh \(C'\) của hình hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] là	B. \(\left( {1;0;3} \right)\).
3. Tọa độ điểm \(E\) thuộc đường thẳng \(DD'\) sao cho \(B'E \bot A'C\) là	C. \(\left( {0;2;3} \right)\).
4. Cho điểm \(M\) thuộc \(A'C\), \(N\) thuộc \(BD\) thỏa mãn \(MN \bot BD,MN \bot A'C\). Tọa độ của điểm \(N\) là	D. \(\left( {0;2;4} \right)\).
	E. \(\left( {\frac{{53}}{{61}};\frac{{106}}{{61}};\frac{{24}}{{61}}} \right)\).
	F. \(\left( {\frac{{17}}{{61}};\frac{{88}}{{61}};0} \right)\).

Đáp án: 1 – __ ; 2 – __ ; 3 – __ ; 4 – __ .

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng O, B thuộc Ox, D thuộc Oy, A' thuộc Oz và AB = 1, AD = 2, AA' = 3 (ảnh 1)

Theo bài ra ta có \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),\)\(D\left( {0;2;0} \right),\)\(A'\left( {0;0;3} \right)\).

Hình chiếu của \(C\) lên \(\left( {Oxy} \right)\) là \(C\), hình chiếu của \(C\) lên \(Oz\) là \(A\) nên \(C\left( {1;2;0} \right)\).

Hình chiếu của \(B',C',D'\) lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và trục \(Oz\) lần lượt là các điểm \(B,C,D\) và \(A'\) nên \(B'\left( {1;0;3} \right),{\rm{ }}C'\left( {1;2;3} \right),{\rm{ }}D'\left( {0;2;3} \right)\).

Vì \(E\) thuộc đường thẳng \(DD'\) nên \(E\left( {0;2;z} \right)\), suy ra \(\overrightarrow {B'E} = \left( { - 1;2;z - 3} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {A'C} = \left( {1;2; - 3} \right)\) nên \(B'E \bot A'C \Leftrightarrow \overrightarrow {B'E} \cdot \overrightarrow {A'C} = 0\)\( \Leftrightarrow - 1 + 4 - 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow z = 4\).

Vậy \(E\left( {0;2;4} \right)\).

Đặt \(\overrightarrow {A'M} = x\overrightarrow {A'C} ;{\rm{ }}\overrightarrow {BN} = y\overrightarrow {BD} \).

Ta có \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {AA'} + x\overrightarrow {A'C} = \left( {x;2x;3 - 3x} \right)\), suy ra \(M\left( {x;2x;3 - 3x} \right)\).

\(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AB} + y\overrightarrow {BD} = \left( {1 - y;2y;0} \right) \Rightarrow N\left( {1 - y;2y;0} \right)\).

Theo giả thiết của để bài, ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {A'C} = 0\\\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\end{array} \right.\) \(( * )\).

Mà \(\overrightarrow {MN} = \left( {1 - x - y;2y - 2x;3x - 3} \right)\), \(\overrightarrow {A'C} = \left( {1;2; - 3} \right)\), \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;2;0} \right)\).

Khi đó \(( * )\) trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}1 - x - y + 4y - 4x - 9x + 9 = 0\\ - 1 + x + y + 4y - 4x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 14x + 3y = - 10\\ - 3x + 5y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{53}}{{61}}\\y = \frac{{44}}{{61}}\end{array} \right.\).

Do đó \(M\left( {\frac{{53}}{{61}};\frac{{106}}{{61}};\frac{{24}}{{61}}} \right),{\rm{ }}N\left( {\frac{{17}}{{61}};\frac{{88}}{{61}};0} \right)\).

Đáp án: 1 – B; 2 – A; 3 – D; 4 – F.