Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có A (0;0;0), B(3;0;0), D (0;3;0), D'(0;3; - 3). Gọi G là trọng tâm tam giác B'BD'

Lời giải

a) Sai.

Ta có \[A'\left( {0;0; - 3} \right)\], \[B'\left( {3;0; - 3} \right)\], \[C\left( {3;3;0} \right)\]. Suy ra \[\overrightarrow {A'B'} \left( {3;0;0} \right)\], \[\overrightarrow {A'C} \left( {3;3;3} \right)\], \[\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C} } \right] = \left( {0; - 9;9} \right)\]. Khi đó \[{S_{\Delta A'B'C}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C} } \right]} \right| = \frac{{9\sqrt 2 }}{2}\] (đvdt).

b) Sai.

Tọa độ của điểm \[C\] là \[C\left( {3;3;0} \right)\].

c) Sai.

Tọa độ trọng tâm \[G\]của tam giác \[B'BD'\]là \[\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_{B'}} + {x_B} + {x_{D'}}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_{B'}} + {y_B} + {y_{D'}}}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_{B'}} + {z_B} + {z_{D'}}}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2;1; - 2} \right)\].

Đường thẳng \[AC\]có VTCP là \[\overrightarrow {AC}  = \left( {3;3;0} \right)\], đường thẳng có VTCP là \[\overrightarrow {B'G}  = \left( { - 1;1;1} \right)\].

Gọi \[\alpha \] là góc giữa hai đường thẳng \[AC\] và \[B'G\], khi đó \[\cos \alpha  = \frac{{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'G} }}{{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\left| {\overrightarrow {B'G} } \right|}} = 0 \Rightarrow \alpha  = 90^\circ \].

d) Đúng.

Tọa độ trọng tâm \[G\]của tam giác \[B'BD'\]là \[\left( {2;1; - 2} \right)\].