Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC có các điểm S (0;0;3), A (0;0;0), B (1;0;0), C (0;2;0) và mặt phẳng

16/25

Từ câu hỏi 16 đến 20, thí sinh ghép mỗi nội dung ở cột bên trái với một nội dung ở cột bên phải thành nội dung đúng.

Trong không gian \(Oxyz\), cho hình chóp \(S.ABC\) có các điểm \(S\left( {0;0;3} \right)\), \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\).

1. Côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng	A. \(\frac{{11\sqrt 3 }}{{21}}\).
2. Sin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng	B. \(\frac{2}{7}\).
3. Côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng	C. \(1\).
4. Côsin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) bằng	D. \(\frac{{10\sqrt 3 }}{{21}}\).
	E. \(0\).
	F. \(\frac{3}{7}\).

Đáp án: 1 – __ ; 2 – __ ; 3 – __ ; 4 – __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Nhận xét bốn điểm \(S\left( {0;0;3} \right)\), \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) thuộc một tứ diện vuông \(S.ABC\) nên dễ thấy \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow \cos \left( {\left( {SAB} \right),\;\left( {ABC} \right)} \right) = \cos 90^\circ = 0\).

Nhận xét bốn điểm \(S\left( {0;0;3} \right)\), \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;2;0} \right)\) thuộc một tứ diện vuông \(S.ABC\) nên dễ thấy \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow \sin \left( {\left( {SAB} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \sin 90^\circ = 1\).

Ta có \(\left( {SBC} \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\)\( \Rightarrow \left( {SBC} \right):6x + 3y + 2z - 6 = 0\)\( \Rightarrow {\vec n_{\left( {SBC} \right)}} = \left( {6;3;2} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) có \({\vec n_{\left( {ABC} \right)}} = \overrightarrow {AS} = \left( {0;0;3} \right)\).

\(\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_{\left( {ABC} \right)}} \cdot {{\vec n}_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{\left( {ABC} \right)}}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}}\)\( = \frac{{\left| {6 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 2 \cdot 3} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {3^2}} \cdot \sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{7}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{{\vec n}_{\left( {SBC} \right)}} = \left( {6;3;2} \right)\\{{\vec n}_{\left( P \right)}} = \left( {1;1;1} \right)\end{array} \right.\)

Nên \(\cos \left( {\left( {SBC} \right),\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_{\left( {SBC} \right)}} \cdot {{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\vec n}_{\left( {SBC} \right)}}} \right| \cdot \left| {{{\vec n}_{\left( P \right)}}} \right|}}\)\( = \frac{{\left| {6 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{11\sqrt 3 }}{{21}}\).

Đáp án: 1 – E; 2 – C; 3 – B; 4 – A.