Trong không gian Oxyz cho hình chóp S . ABCD có S ( 0 ; 0 ; 3 , 5 ) , ABCD là hình chữ nhật với A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( 4 ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; 10 ; 0 ) (tham khảo hình vẽ).
49/73
Trong không gian \[Oxyz\] cho hình chóp \(S.ABCD\)có \(S\left( {0;0;3,5} \right),\,ABCD\) là hình chữ nhật với \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {4;0;0} \right),D\left( {0;10;0} \right)\) (tham khảo hình vẽ).
Toạ độ điểm \[C\left( {4;10;0} \right).\]
Phương trình mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] là \[\frac{x}{4} + \frac{y}{{10}} + \frac{z}{{3,5}} = 1\].
Toạ độ của vectơ \[\overrightarrow {SC} \] là \[\left( {4;10; - 3,5} \right)\].
Góc giữa đường thẳng SCvà mặt phẳng \[\left( {SBD} \right)\] (làm tròn đến hàng đơn vị của độ là \[20^\circ \]).
a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S
a) Vì \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) nên \(C\left( {4\,;\,10\,;\,0} \right)\). Suy ra toạ độ điểm \[C\left( {4;10;0} \right).\]
b) Phương trình mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là: \(\frac{x}{4} + \frac{y}{{10}} + \frac{z}{{3,5}} = 1 \Leftrightarrow 35x + 14y + 40z - 140 = 0.\)
c) \(\overrightarrow {SC} = \left( {4\,;\,10\,;\, - 3,5} \right)\).
d) Suy ra \(\overrightarrow n = \left( {35\,;\,14\,;\,40} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
Khi đó, \(\sin \left( {SC\,,\,\left( {SBD} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {SC} \,.\,\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {SC} } \right|\,.\,\left| {\,\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {4\,.\,35 + 10\,.\,14 + \left( { - \,3,5} \right)\,.\,40} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{10}^2} + {{\left( { - \,3,5} \right)}^2}} \,.\,\sqrt {{{35}^2} + {{14}^2} + {{40}^2}} }} = \frac{{280\sqrt {53} }}{{9\,\,063}}\).
Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\) là khoảng \(13^\circ \).