Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A ( 1 ; 3 ; 2 ) , B ( 2 ; 0 ; − 2 ) , D ( − 3 ; 7 ; 1 ) , và C ( a ; b ; c ) . Tìm a + 3b + 4c .

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( {1; - 3; - 4} \right)\),\(\overrightarrow {AD} \left( { - 4;4; - 1} \right)\).

Gọi \(C\left( {x;y;z} \right)\) là điểm cần tìm. \(\overrightarrow {DC} \left( {x + 3;y - 7;z - 1} \right)\)

Vì \(ABCD\)là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3 = 1\\y - 7 =  - 3\\z - 1 =  - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 4\\z =  - 3\end{array} \right.\).

Vậy \(C\left( { - 2;4; - 3} \right) \Rightarrow a + 3b + 4c =  - 2\).