Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − y − 6 = 0 và ( Q ) . Biết rằng điểm H ( 2 ; − 1 ; − 2 ) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O ( 0 ; 0 ; 0 ) xuống mặt phẳng (

30/73

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - 6 = 0\) và \(\left( Q \right)\). Biết rằng điểm \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Số đo góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\) bằng

\(30^\circ \).

\(45^\circ \).

\[60^\circ \].

\[90^\circ \].

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Vì điểm \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên \(OH \bot \left( Q \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nhận \(\overrightarrow {OH} = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;0} \right)\).

Suy ra \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {OH} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{3}{{3\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Do đó \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 45^\circ \).