Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y – z = 0, (Q): x – y – 2z + 1 = 0. a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và

a) Ta có \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;3; - 1} \right),\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1; - 2} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 1.1 + 3.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) = 0\).

Do đó hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Vì M Î Ox nên M(a; 0; 0).

Vì d(M, (P)) = d(M, (Q)) nên \(\frac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {1 + 9 + 1} }} = \frac{{\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt 6 \left| a \right| = \sqrt {11} \left| {a + 1} \right|\)

\( \Leftrightarrow 6{a^2} = 11{a^2} + 22a + 11\)\( \Leftrightarrow 5{a^2} + 22a + 11 = 0\)\( \Leftrightarrow a = \frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5}\) hoặc \(a = \frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5}\).

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu là:

\({M_1}\left( {\frac{{ - 11 - \sqrt {66} }}{5};0;0} \right),{M_2}\left( {\frac{{ - 11 + \sqrt {66} }}{5};0;0} \right)\).