Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng ( P ) : x − 3y + 2z − 1 = 0 , ( Q ) : x − z + 2 = 0 . Mặt phẳng ( α ) vuông góc với cả ( P ) và ( Q ) đồng thời cắt trục Ox tại điểm có ho

11/29

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - 3y + 2z - 1 = 0\), \(\left( Q \right):x - z + 2 = 0\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) đồng thời cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là

\(x + y + z - 3 = 0\).

\(x + y + z + 3 = 0\).

\( - 2x + z + 6 = 0\).

\( - 2x + z - 6 = 0\).

Giải thích

Đáp án đúng là: A

\(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 3;2} \right)\), \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với cả \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {3;3;3} \right) = 3\left( {1;1;1} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ bằng 3 nên \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;0} \right)\).

Vậy \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3;0;0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1;1} \right)\) nên \(\left( \alpha \right)\) có phương trình:

\(x + y + z - 3 = 0\).