Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: ∆:x = 3 + 2t,y = - 2 + t,z = 1 + 3tvà ∆': x + 2/3 = y - 3/2 = z - 1/ - 2 a) Chứng minh rằng hai đường thẳng

a) Đường thẳng ∆ đi qua A(3; −2; 1) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (2; 1; 3) làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆' đi qua B(−2; 3; 1) và nhận vectơ \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} \) = (3; 2; −2) làm vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (−5; 5; 0) và \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\2&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\{ - 2}&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\3&2\end{array}} \right|} \right)\) = (−8; 13; 1) ≠ \(\overrightarrow 0 \)

⇒\(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −5.(−8) + 5.13 + 0.1 = 105 ≠ 0.

Do đó, hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.

b) Mặt phẳng (P) nhận vectơ \(\overrightarrow n \) = \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right]\) = (−8; 13; 1) làm vectơ pháp tuyến và mặt phẳng (P) đi qua điểm A.

Mặt phẳng (P) có phương trình là: −8(x – 3) + 13(y + 2) +1(z – 1) = 0

⇔ −8x + 13y + z + 49 = 0

⇔ 8x – 13y – z – 49 = 0.