Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d1 : x = 4 + t; y = − 4 − t; z = 6 + 2t , d2 : (x − 5)/ 2 = (y − 11)/ 4 =( z − 5)/ 2 . Đường thẳng d đi qua A ( 5 ; − 3 ; 5 ) cắt d1 , d2

74/88

Trong không gian \(Oxyz\) cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = - 4 - t\\z = 6 + 2t\end{array} \right.\), \({d_2}:\frac{{x - 5}}{2} = \frac{{y - 11}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( {5; - 3;5} \right)\) cắt \({d_1},{d_2}\) lần lượt ở \(B,C\). Tính tỉ số \(\frac{{AB}}{{AC}}\).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Trả lời: 0,5

Vì \(B \in {d_1}\) nên \(B\left( {4 + t; - 4 - t;6 + 2t} \right)\).

Phương trình tham số của \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t'\\y = 11 + 4t'\\z = 5 + 2t'\end{array} \right.\).

Vì \(C \in {d_2}\) nên \(C\left( {5 + 2t';11 + 4t';5 + 2t'} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 1 + t; - 1 - t;2t + 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2t';4t' + 14;2t'} \right)\).

Do \(A,B,C\) thẳng hàng nên \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương.

Suy ra \(\exists k \in \mathbb{R}:\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 1 = 2kt'\\ - t - 1 = 4kt' + 14k\\2t + 1 = 2kt'\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 2\\t' = - 3\\k = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Do đó \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2} = 0,5\).