Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆ và ∆'. b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng ∆ và ∆'.

a) Đường thẳng ∆ đi qua A(3; 1; −1) và \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) = (0; 1; 3) là vectơ chỉ phương.

    Đường thẳng ∆' đi qua B(1; −2; −5) và \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} \) = (1; 3; 0) là vectơ chỉ phương.

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\3&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&0\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\1&3\end{array}} \right|} \right)\) = (−9; 3; −1) và \(\overrightarrow {AB} \) = (−2; −3; −4).

⇒\(\left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right].\overrightarrow {AB} \) = −9.(−2) + 3.(−3) + (−1).(−4) = 13 ≠ 0.

Do đó, hai đường thẳng ∆ và ∆' chéo nhau.

b) cos(∆, ∆') = \(\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} .\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} } \right|}} = \frac{{\left| {0.1 + 1.3 + 3.0} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {3^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2} + {0^2}} }}\) = \(\frac{3}{{10}}\).