Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ∆1: x-1/1 = y+2/1 = z-3/3 và ∆2: x+1/1 = y+1/1 = z/4. Chứng minh rằng:

Đường thả̉ng \({\Delta _1}\) đi qua điếm \({\rm{A}}(1; - 2;3)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = (1;1;4)\) Đường thắng \({\Delta _2}\) đi qua điếm \({\rm{B}}( - 1; - 1;0)\) và có vectơ chí phương \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = (1;1;4)\)

a) vi \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}}  = \overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = (1;1;4)\) và \(A \notin {\Delta _2}\) nên hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

b) Trục OX đi qua điếm \({\rm{O}}(0;0;0)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec i = (1;0;0)\)

Có \(\overrightarrow {OA}  = (1; - 2;3)\) và \(\left[ {\vec i,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = (0; - 4;1)\).

Có \(\overrightarrow {OA}  \cdot \left[ {\vec i,\overrightarrow {{u_{{\Delta _1}}}} } \right] = 8 + 3 = 11 \ne 0\). Do đó đường thẳng \({\Delta _1}\) và trục Ox chéo nhau.

c) Đường thắng \({\Delta _3}\) đi qua điểm \({\rm{C}}( - 2; - 2; - 4)\) và có vectơ chỉ phương .

vi \(\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}}  = \overrightarrow {{u_{{\Delta _3}}}}  = (1;1;4)\) và \({\rm{B}} \in {\Delta _3}\) nên đường thắng \({\Delta _2}\) trùng với đường thắng \({\Delta _3}\).

d) Trục Oz đi qua điếm \({\rm{O}}(0;0;0)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec k = (0;0;1)\).

Có \(\overrightarrow {OB}  = ( - 1; - 1;0),\left[ {\vec k,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = ( - 1;1;0) \ne \vec 0\)

Có \(\overrightarrow {OB}  \cdot \left[ {\vec k,\overrightarrow {{u_{{\Delta _2}}}} } \right] = 1 - 1 = 0\). Do đó đường thắng \({\Delta _2}\) cắt trục Oz .