Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M ( 2 ; 3 ; − 1 ) , N ( − 1 ; 1 ; 1 ) . a) Điểm I ( a ; b ; c ) nằm trên mặt phẳng ( O x y ) thỏa mãn T = ∣ ∣ ∣ 3 −−→ I M − −→ I N ∣ ∣ ∣ đạt giá tr

a)

S

b)

Đ

c)

S

d)

Đ

 

Hình chiếu của điểm \(M\) trên trục \(Oy\) có tọa độ là \(\left( {0;3;0} \right)\).Vì \(N\) là trung điểm của \(ME \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 = \frac{{2 + {x_E}}}{2}}\\{1 = \frac{{3 + {y_E}}}{2}}\\{1 = \frac{{ - 1 + {z_E}}}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_E} =  - 4}\\{{y_E} =  - 1}\\{{z_E} = 3}\end{array} \Rightarrow E\left( { - 4; - 1;3} \right)} \right.} \right.\).Ta có \(\overrightarrow {NM}  = \left( {3;2; - 2} \right);\overrightarrow {NP}  = \left( {2;m - 2;2} \right)\).

\(\Delta MNP\)vuông tại \(N \Leftrightarrow \overrightarrow {NM} .\overrightarrow {NP}  = 0 \Leftrightarrow 3.2 + 2.\left( {m - 2} \right) + \left( { - 2} \right).2 = 0 \Leftrightarrow m = 1\)Gọi \(J\left( {x;y;z} \right)\) thỏa \(3\overrightarrow {JM}  - \overrightarrow {JN}  = \vec 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3\left( {2 - x} \right) - \left( { - 1 - x} \right) = 0}\\{3\left( {3 - y} \right) - \left( {1 - y} \right) = 0}\\{3\left( { - 1 - z} \right) - \left( {1 - z} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{7}{2}}\\{y = 4}\\{z =  - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(J\left( {\frac{7}{2};4; - 2} \right)\).

Khi đó \(T = \left| {3\overrightarrow {IM}  - \overrightarrow {IN} \left|  =  \right|3\overrightarrow {IJ}  + 3\overrightarrow {JM}  - \overrightarrow {IJ}  - \overrightarrow {JN} \left|  =  \right|2\overrightarrow {IJ} } \right| = 2IJ\).

\(T\)đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(I\) là hình chiếu của \(J\) trên \(\left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow I\left( {\frac{7}{2};4;0} \right)\).

Vậy \(a = \frac{7}{2};b = 4;c = 0\). Suy ra \(2a + b + c = 11\).