Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm Biết \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,0} \right)\) sao cho tổng \(MA + MB\) nhỏ nhất. Độ dài đoạn \(OM\) bằng

30/150

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \[A\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,B\left( {5\,;\,\,6\,;\,\,1} \right).\] Biết \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,0} \right)\) sao cho tổng \(MA + MB\) nhỏ nhất. Độ dài đoạn \(OM\) bằng

\(OM = \sqrt {34} \).

\(OM = \sqrt {41} \).

\(OM = \sqrt {43} \).

\(OM = \sqrt {14} \).

Giải thích

Dễ thấy hai điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B\)nằm cùng phía đối với \(\left( {Oxy} \right)\), điểm \[M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,0} \right) \in \left( {Oxy} \right)\].

Gọi \(A'\)là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Rightarrow A'\left( {1\,;\,\,2\,;\,\, - 3} \right)\).

Theo tính chất đối xứng ta có \(MA = MA'\).

Do đó \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\) (bất đẳng thức tam giác).

Dấu “=” xảy ra \( \Rightarrow M \in A'B\). Hay \(M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,A',{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,B\) thẳng hàng \( \Rightarrow \overrightarrow {A'M} \,,\,\,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {A'B} \)cùng phương.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {A'M} = \left( {a - 1\,;\,\,b - 2\,;\,\,3} \right)}\\{\overrightarrow {A'B} = \left( {4\,;\,\,4\,;\,\,4} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \frac{{a - 1}}{4} = \frac{{b - 2}}{4} = \frac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow M\left( {4\,;\,\,5\,;\,\,0} \right)\). Vậy \(OM = \sqrt {{4^2} + {5^2} + {0^2}} = \sqrt {41} \).Chọn B.