Trong không gian oxyz cho hai điểm A(2;-2;6), B(3;3;-9)

Đặt \(M\left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right)\), gọi \[E,\,\,F\] là các chân đường vuông góc từ \[A,\,\,B\] hạ xuống \(\left( P \right).\)

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì \(\sin \widehat {AME} = \sin \widehat {BMF}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{AE}}{{AM}} = \frac{{BF}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{{d\left( {A;\,\,\left( P \right)} \right)}}{{AM}} = \frac{{d\left( {B;\,\,\left( P \right)} \right)}}{{BM}} \Leftrightarrow \frac{6}{{AM}} = \frac{3}{{BM}} \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2}\)

\[ \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} + {\left( {c - 6} \right)^2} = 4\left[ {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2} + {{\left( {c + 9} \right)}^2}} \right]\]

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - \frac{{20}}{3}a - \frac{{28}}{3}b + 28c + \frac{{352}}{3} = 0\). Suy ra \(M \in \left( S \right)\) tâm \(I\left( {\frac{{10}}{3}\,;\,\,\frac{{14}}{3}\,;\,\, - 14} \right)\).

Mà \(M \in (P)\) nên quỹ tích điểm \(M\) là một đường tròn \(\left( C \right)\) thiết diện tạo bởi mặt cắt giữa mặt phẳng \((P)\) và mặt cầu với tâm đường tròn \(E\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Khi đó, phương trình đường thẳng \(\left( d \right)\) qua \(I\), vuông góc \(\left( P \right)\).

Mà \(E \in \left( d \right) \cap \left( P \right)\) nên suy ra \(2\left( {\frac{{10}}{3} + 2t} \right) + 2\left( {\frac{{14}}{3} + 2t} \right) - \left( { - 14 - t} \right) - 12 = 0\)

\( \Leftrightarrow t =  - 2 \Rightarrow {y_E} = \frac{{14}}{3} + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = \frac{2}{3}{\rm{. }}\)

Đáp án: \(\frac{2}{3}.\)