Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(2; 1; 3). a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0; 0) và mặt cầu (S) đi qua

a) Gọi I(x; y; z) là trung điểm của AB, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\\y = \frac{{1 + 1}}{2} = 1\\z = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\end{array} \right.\)⇒ I(2; 1; 2).

Mặt cầu đường kính AB có tâm là I(2; 1; 2) và bán kính R = IA.

 IA = \(\sqrt {{{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} \) = 1.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là:

(x – 2)² + (y – 1)² + (z – 2)² = 1².

⇔ (x – 2)² + (y – 1)² + (z – 2)² = 1.

b) Mặt cầu (S) tâm O và đi qua A có bán kính R = OA.

OA = \(\sqrt {{{\left( {2 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2} + {{\left( {1 - 0} \right)}^2}} \)= \(\sqrt 6 \).

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: (x – 0)² + (y – 0)² + (z – 0)² = \({\left( {\sqrt 6 } \right)^2}\).

⇔ x² + y² + z² = 6.