Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1) và B(3; -1;5). Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng \(AB

28/35

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và \(B\left( {3; - 1;5} \right)\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với đường thẳng \(AB\) và cắt các trục \(Ox\), \(Oy\) và \(Oz\) lần lượt tại các điểm \(D\), \(E\) và \(F\). Biết thể tích của tứ diện \(ODEF\) bằng \(\frac{3}{2}\), phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

\[2x - 3y + 4z \pm \sqrt[3]{{36}} = 0\].

\[2x - 3y + 4z + \frac{3}{2} = 0\].

\[2x - 3y + 4z \pm 12 = 0\].

\[2x - 3y + 4z \pm 6 = 0\].

Giải thích

Lời giải

Vì \[AB \bot \left( P \right)\] nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 3;4} \right)\], do đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \[2x - 3y + 4z + d = 0\].

Từ đây tìm được \[D\left( { - \frac{d}{2};0;0} \right)\], \[E\left( {0;\frac{d}{3};0} \right)\], \[F\left( {0;0; - \frac{d}{4}} \right)\] suy ra \[OD = \frac{{\left| d \right|}}{2}\], \[OE = \frac{{\left| d \right|}}{3}\], \[OF = \frac{{\left| d \right|}}{4}\].

Mặt khác tứ diện \[ODEF\] có \[OD,OE,OF\] đôi một vuông góc nên

\[{V_{ODEF}} = \frac{1}{6}OD \cdot OE \cdot OF\]\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\left| d \right|} \right)}^3}}}{{144}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left| d \right| = 6 \Leftrightarrow d = \pm 6\].

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \[2x - 3y + 4z \pm 6 = 0\]. Chọn D.