Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 0) và B(3; 2; 2). a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. b) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. c) Viết phương trình mặt phẳng (OAB)

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} \) = (2; 0; 2) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

Phương trình tham số của đường thẳng AB là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2\\z = 2t\end{array} \right.\).

b) Mặt cầu đường kính AB có tâm I là trung điểm của AB, ta có tọa độ I là:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{1 + 3}}{2} = 2\\{y_I} = \frac{{2 + 2}}{2} = 2\\{z_I} = \frac{{0 + 2}}{2} = 1\end{array} \right.\)⇒ I(2; 2; 1).

Bán kính mặt cầu là: IA = \(\sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).

Phương trình mặt cầu đường kính BA là: (x – 2)² + (y – 2)² + (x – 1)² = 2.

c) Ta có: \(\overrightarrow {OA} \) = (1; 2; 0), \(\overrightarrow {OB} \) = (3; 2; 2).

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&0\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\2&3\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\3&2\end{array}} \right|} \right)\) = (4; −2; −4) = 2(2; −1; −2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) nên phương trình mặt phẳng (OAB) là:

2(x – 0) – 1(y – 0) – 2(z – 0) = 0 ⇔ 2x – y – 2z = 0.

d) Gọi I là trung điểm của AB thì I = (2; 2; 1), ta có:

MA² + MB² = \({\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\) = 2MI² + IA² + IB²,

Do đó MA² + MB² nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (Oxy), suy ra M(2; 2; 0).