Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(0;0;2), B( 1;1;0) và mặt cầu (S): x^2+y^2+(z-1)^2=1/4 . Xét điểm M thay đổi thuộc (S) . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA^2+2MB^2 bằng:

Đáp án D

Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn IA→+2IB→=0→

Ta có {−a+2−2a=0−b+2−2b=02−c−2c=0⇔{a=23b=23c=23⇒I(23;23;23)

Ta có:  MA2+2MB2=(MI→+IA→)2+2(MI→+IB→)2

 =MI2+2MI→.MA→+IA2+2MI2+4MI→.IB→+IB2

=3MI2+IA2+2IB2+2MI→(IA→+2IB→)⏟0=3MI2+IA2+2IB2⏟const=3MI2+IA2+2IB2+2MI→(IA→+2IB→)⏟0=3MI2+IA2+2IB2⏟const

Do {IA2=(−23)2+(−23)2+(2−23)2=83IB2=(1−23)2+(1−23)2+(−23)2=23⇒IA2+2IB2=4  không đổi, nên (MA2+2MB2)min⇔MImin

 với I(23;23;23), M∈(S).

Ta có  (23)2+(23)2+(23−1)2=1>14⇒Inằm ngoài  (S)

Khi đó MImin=IJ−R với  J(0;0;1)là tâm mặt cầu, R=12 là bán kính mặt cầu.

Ta có: IJ=(−23)2+(−23)2+(1−23)2=1⇒MImin=1−12=12

Vậy (MA2+2MB2)min=3MImin2+4=3.(12)2+4=194.