Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 4 ; − 2 ; 4 ) , B ( − 2 ; 6 ; 4 ) và đường thẳng d : x = 5; y = − 1; z = t . Gọi M là điểm di động thuộc mặt phẳng ( Oxy ) sao cho ˆ AMB =

20/22

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {4; - 2;4} \right),B\left( { - 2;6;4} \right)$ và đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 1\\z = t\end{array} \right.$. Gọi $M$ là điểm di động thuộc mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ sao cho $\widehat {AMB} = 90^\circ $ và $N$ là điểm di động thuộc $d.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của $MN.$

Giải thích

Trả lời: 2

$Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm \(A (ảnh 1)$

$\left( {Oxy} \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

$d$ có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)$. Nên $d \bot \left( {Oxy} \right)$.

Gọi $P = d \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {5; - 1;0} \right)$

Gọi $I$là trung điểm $AB$$ \Rightarrow I\left( {1;2;4} \right)$.

$\widehat {AMB} = 90^\circ $$ \Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$, bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2} + {0^2}} }}{2} = 5.$

Mà $M \in \left( {Oxy} \right)$ nên $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$\[ \Rightarrow H\left( {1;2;0} \right)\].

Suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm \[H\left( {1;2;0} \right)\], bán kính $r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {25 - 16} = 3$.

Ta có: $MN \ge MP \ge HP - r = \sqrt {16 + 9} - 3 = 2$.

Vậy $M{N_{\min }} = 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $N \equiv P$ và $H,M,P$ thẳng hàng ($M$ nằm giữa $H,P$).