Trong không gian \(Oxyz\) cho hai điểm \(A( {2;3;7} ,B( {4;1;3} . Gọi \(\left( \alpha  \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(I\left( {3;2;5} \right)\).

Vì \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(AB\)nên \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(I\left( {3;2;5} \right)\).

b) Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2; - 4} \right) = - 2\left( { - 1;1;2} \right)\).

Do đó mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( { - 1;1;2} \right)\).

c) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(I\left( {3;2;5} \right)\) và có \(\overrightarrow n \left( { - 1;1;2} \right)\) là vectơ pháp tuyến có dạng là:

\( - \left( {x - 3} \right) + \left( {y - 2} \right) + 2\left( {z - 5} \right) = 0\) hay \( - x + y + 2z - 9 = 0\).

Suy ra \(a = - 1;b = 1;c = 2\). Do đó \(a + b + c = 2\).

d) \(d\left( {C,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| { - 1 + 2.2 - 9} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt 6 }} = \sqrt 6 \).